Mondrakete – Der physikalische Hintergrund

Der Flug zum Mond ist mit vielen technischen Schwierigkeiten verbunden. Eine, wenn nicht die Größte, ist die Überwindung der Erdanziehungskraft. Um z.B. eine Apollo – Kapsel bis zum Mond zu bringen, war es nötig, eine Rakete mit einem Schub von 34000 kN zu entwickeln.

7.1 Mögliche und tatsächliche Bahnen

7.1.1 Newtons Gravitationsgesetz und die Keplerschen Gesetze

Die Berechnung möglicher Bahnformen setzt die Keplerschen Gesetze sowie Newtons Gravitationsgesetz voraus:

1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren gemeinsamem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Die Verbindungsstrecke Sonne – Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen (hier: Radien)

           

 

Nun betrachtet man zwei Planeten mit den Massen m1 und m2, die auf Kreisbahnen mit dem Radius r1 und r2  in der Zeit T1 und T2 um die Sonne laufen. Für die Zentripetalkräfte ergibt sich:

        1.     Planet:

        2.     Planet:

Weiterhin:  und

 

Durch Einsetzen erhält man:

        

Unter Berücksichtigung des dritten Keplerschen Gesetztes bildet man den Quotienten von F2 und F1 und erhält:
       

 

Betrachtet man obigen Quotienten, so erkennt man, dass sich unter Verwendung eines Proportionalitätsfaktors C auch schreiben lässt:

       

Das heißt am Beispiel der Sonne, dass ihre Anziehungskraft proportional zur Planetenmasse ist und mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt.

Das allgemeine Wechselwirkungsgesetz zwingt nun, die Masse M der Sonne gleichberechtigt zur Planetenmasse m in die Formel für F eingehen zu lassen. Daher liegt es nahe, in den Proportionalitätsfaktor auch die Masse der Sonne einzufügen. Deshalb schreibt man:

               

G  heißt universelle  Gravitationskonstante und hat den Wert .

Hieraus folgt das Newtonsche Gravitationsgesetz, (Annahme: Der kugelförmige Körper verhält sich so, als ob seine ganze Masse im Mittelpunkt vereinigt wäre):

         Textfeld:

 

7.1.2 Betrachtung möglicher Bahnformen

 Durch Überlegung erhält man die prinzipiellen Möglichkeiten für Bahnen zum Mond:

Für die energiesparende Verwirklichung eines Fluges zum Mond ist jedoch nur eine Ellipsenbahn sinnvoll, da man bei den anderen beiden Bahnformen gezwungen wäre, die Rakete am Ziel stärker abzubremsen. Unter der Annahme, dass sich ein Körper mit der Geschwindigkeit v0 im Gravitationsfeld eines punktförmigen Planeten befindet, findet nun eine Betrachtung der Energien statt.

Die Gesamtenergie setzt sich aus Epot und Ekin zusammen. Für die potentielle Energie liegt der Nullpunkt bei "Unendlich", d.h. im Unendlichen, außerhalb des Bereichs, in dem auf den Körper Gravitationskraft wirkt, muss die potentielle Energie null sein. Andererseits dient die Arbeit, die nötig ist, um einen Körper im Gravitationsfeld von r1 auf r2 zu heben (r2>r1), der Erhöhung der Lageenergie des Körpers. Bei zunehmender Entfernung vom Gravitationszentrum muss also die potentielle Energie größer sein. Aus diesen Forderungen folgert, dass die potentielle Energie negative Werte annimmt, und maximal den Wert null erreicht.

         

Verwendet man die zuvor hergeleitete Formel für die Gravitationskraft, so erhält man die unten angegebene infinitesimale Arbeit dW, die dann integriert  werden kann:

      

       

 

nun erhält man wegen

          

 

Für die Arbeit, die nötig ist, um die Masse m vom Abstand r1 auf Abstand r2 vom Gravitationszentrum zu heben, ergibt sich:

           

             

 

Hier spielt der Weg, auf dem die Arbeit verrichtet wird, keine Rolle. Wenn ein Körper nun das Schwerefeld der Masse M verlassen möchte („nach Unendlich fliegt“), und sich bereits auf dem Radius r befindet, gilt mit r2 → für die Geschwindigkeit v0, die der Rakete „mitgegeben“ wird:

         

 

Für die Erde sind dies mit r=rErde und M=MErde:

        

 

Dies ist die sog. Fluchtgeschwindigkeit von der Erde. In diesem Fall ist „im Unendlichen“ die kinetische Energie gerade aufgebraucht, der Körper hat dann die Geschwindigkeit null. Nun unterscheidet man folgende Fälle (Eo= Gesamtenergie des Systems):

 1)  : Dem Körper gelingt es nicht, das Gravitationsfeld zu verlassen. Er bewegt sich auf einer Ellipsenbahn; in einem Brennpunkt liegt der gemeinsame Schwerpunkt des Systems. Eo<0

 2)  : Der Körper kann dem Gravitationsfeld entkommen, er hat „im Unendlichen“ dann jedoch die Geschwindigkeit null. Der Körper fliegt auf einer Parabelbahn davon. Eo=0

 3) : Der Körper hat „im Unendlichen“ noch einen Rest kinetische Energie vom Betrag . Der Körper fliegt auf einer Hyperbelbahn davon. Eo>0

Aus diesen Betrachtungen erkennt man, dass die Ellipsenbahn die Bahnform mit dem geringsten Energiebedarf ist, und daher für einen Mondflug am geeignetsten erscheint.

 

7.1.3 Genauere Betrachtung der Ellipsenbahn

Da die Ellipsenbahn eine besondere Rolle für die Bewegung von Planeten und künstlichen Satelliten spielt, soll sie nun genauer betrachtet werden.

Kreis:  Für die Kreisbahngeschwindigkeit ergibt sich durch Gleichsetzen von Zentrifugal – und Gravitationskraft:

    

 

Für die kinetische Energie ergibt sich:

   

 

Für die Gesamtenergie Ekin + Epot folgt nun mit der zuvor hergeleiteten Formel für Epot:

   

 

Ellipse:  Bei der Ellipse spielt bezüglich der Gesamtenergie die große Halbachse a die gleiche Rolle wie bei Kreisbahnen der Radius r. Zur Geometrie der Ellipse:

 

    a: Große Halbachse

    ra: Radius im Aphel

    rp: Radius im Perihel

    ra+rp=2a

                                     

Die Gesamtenergie in diesem Elliptischen System setzt sich zusammen aus kinetischer und potentieller Energie. Die Gesamtenergie muss selbstverständlich konstant bleiben.

Nun gilt für das Aphel (erdnächster Punkt):

                       (1)

 

Und für das Perihel (erdfernster Punkt):

                        (2)

 

 Weiterhin gilt wegen der Drehimpulserhaltung:

                          (3)

 (1);(3):             (4)

(2) in (4):        

                      

                   

                      

                  

                  

 

Gesamtenergie der Ellipse:

                   

 Jetzt kann man über die kinetische Energie die Bahngeschwindigkeit von m im Abstand r vom Gravitationszentrum berechnen.

       

            

              

         Geschwindigkeit des Satelliten

   

7.1.4 Wellmannbahn

Um eine möglichst korrekte Bahn zum Mond zu berechnen, wird eine Idee des Kursleiters Herr Wellmann aufgegriffen: Man stellt sich die Erde mit den darum kreisenden Satelliten als kleines „Sonnensystem“ vor. Das ist erlaubt, weil in Erdnähe die Gravitation der Erde überwiegt, und man den Einfluss der „richtigen“ Sonne vernachlässigen kann. Ferner wird die Anziehungskraft des Mondes gegenüber der Anziehungskraft der Erde vernachlässigt. Für die um die Erde auf Ellipsenbahnen kreisenden Sonden gelten dann –wie im „richtigen“ Sonnensystem- die Keplerschen Gesetze, und alle zuvor hergeleiteten Formeln für Ellipsenbahnen, insbesondere die Formel für die Gesamtenergie:

                    

Diese Energie (man beachte das negative Vorzeichen) wird am kleinsten, wenn a möglichst klein ist. Das kleinste a für eine Ellipsenbahn zum Mond (s. Figur) ist aber ah = ½ (as + aM). Als Anfangsgeschwindigkeit nutzt man die Geschwindigkeit der Startbahn um die Erde, und um am Mond möglichst wenig zu bremsen, schießt man die Sonde tangential in die Mondumlaufbahn ein.

 

 

                          

 

 

Wendet man nun das 3. Keplersche Gesetz auf die oben beschriebene Bahn zum Mond mit ah = 195 000km (halbe Entfernung zum Mond plus Erdradius) und auf die Startbahn um die Erde an (diese hat als Halbachse etwa den Radius as = 7000km der Erde, und die leicht zu berechnende Umlaufszeit Ts = 1,5h), so ergibt sich:

 

 

                                                   


Die Hälfte der Bahn wird also in 4,6d durchflogen, und die Ausschussgeschwindigkeit aus der Erdbahn ist mit 10620m/s etwas kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit von der Erde. Die Anziehungskraft des Mondes wurde hierbei natürlich nicht berücksichtigt, trotzdem stimmt die berechnete Flugdauer erstaunlich gut mit der Praxis überein. Es ist nun leicht einzusehen, dass bei einer sehr langgestreckten Ellipsenbahn bereits eine sehr geringe Abweichung bei der Anfangsgeschwindigkeit eine sehr große Änderung der großen Halbachse bewirkt, und damit eine geringe Treffsicherheit in Mondnähe gegeben ist. Aus diesem Grund nutzt man in der Praxis eine Hyperbelbahn, die energetisch nur wenige Prozent schlechter liegt als die berechnete Ellipse, aber dafür deutlich treffsicherer ist.

  

8.   Nachwort

Einige Jahrzehnte ist es her, dass die erste Rakete von der Erde abhob, um einen Raumflugkörper zum Mond zu bringen. Seitdem ist viel passiert. Menschen wie Wernher von Braun, Juri Gagarin oder Neil Armstrong sind jedoch immer noch unvergessen. Sie leisteten Pionierarbeit in einem der grundlegendsten Bereiche der Raumfahrt und Astronomie, der Erforschung unseres Mondes. Wenn auch der Schwerpunkt der Raumfahrt heute nicht mehr in diesem Ziel liegt, so ist das Thema Mond immer noch aktuell. Zu viele Fragen sind noch ungeklärt. Wird der Mensch dauerhaft auf dem Mond leben können? Kann man von einer Mondbasis aus Raumfahrtmissionen starten? Wir wissen es (noch) nicht. Ja, selbst die Frage nach der Entstehung des Mondes ist noch nicht befriedigend geklärt!


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