4. Das Swingby Manöver

4.1 Einleitung

Seit Mariner 10 setzt die NASA das Swingby Manöver ein um Sonden im Weltall zu beschleunigen oder zu bremsen. Beim Swingby Manöver nähert sich die Sonde einem Planeten und wird allein durch dessen Gravitation beschleunigt. Beim Verlassen des Gravitationsfeldes hat die Sonde relativ zur Sonne eine höhere Geschwindigkeit als beim Eintritt. Die zusätzliche kinetische Energie wurde vom Planeten abgezweigt.

Beispiel Cassini: Am 15 Oktober 1997 schickte die NASA die Sonde Cassini auf eine 6,7-jährige Reise zum Saturn. Eine Titan/Centaur Trägerrakete brachte das 5700 kg schwere Raumschiff mit 4 km/s von der Erde weg. Aufgrund der großen Entfernung des Saturns von der Erde benötigt ein Raumschiff eine Geschwindigkeit von mindestens 10 km/s um Saturn aus einer Erdumlaufbahn zu erreichen. Deswegen sah der Flugplan des Cassini vier einzelne Swingby Manöver – mit Venus, noch mal Venus, Erde und Jupiter – vor, um die Sonde auf die nötige Geschwindigkeit zu beschleunigen. In jedem von diesen Flybys wird Cassini von den Anziehungskräften des jeweiligen Planeten, der sich selbst um die Sonne mit einer Geschwindigkeit von 13 km/s (Venus) bis 35 km/s (Jupiter) bewegt, beschleunigt. Der erste Vorbeiflug an der Venus am 26. April 1998 zum Beispiel brachte Cassini zusätzliche 7 km/s. Man schätzt, dass alle vier Swingbys zusammen um die 75 Tonnen Treibstoff sparen, was die Rakete überproportional verkleinert. Im folgenden werden die prinzipiellen Ansätze für die Rechnung des Swingby erläutert.

 

4.2 Impulserhaltung

Achtung: In den folgenden Rechnungen sind alle V, V*, v, v*, u, u* Vektoren !

Eine Wechselwirkung zwischen einem Raumschiff und einem Planeten unterliegt dem dritten Newton’schen Gesetz und der Impuls bleibt erhalten:

          mv + MV = mv* + MV*     daraus folgt:      V* - V = (v - v*)m/M

M

Masse des Planeten

m

Masse der Sonde

V, V*

Geschwindigkeiten des Planeten vor und nach dem Swingby

v, v*

Geschwindigkeit der Sonde vor und nach dem Swingby

Da m sich in der Größenordnung von einigen tausend kg und M zwischen 1024-1027 kg bewegt, ist das Massenverhältnis m/M tatsächlich sehr klein: 10-21-10-24. Daher gilt für relevante Geschwindigkeiten annähernd genau:

            V* = V             (1)

Das bedeutet, dass der Planet seine Geschwindigkeit natürlich nicht ändert. Die obige Formel gilt für Swingbys annähernd genau. Ein Swingby beeinflusst einen Planeten mindestens 25 Millionen mal weniger als ein 1 Mikrogramm schweres Staubkorn einen fahrenden 40 Tonnen Laster. Die NASA gibt an, dass ein Voyager Swingby den Jupiter um ca. 0,3 cm/Billion Jahre und Galileo die Erde um 12,5 cm/Billion Jahre gebremst hat. Aus diesen Gründen wird Gleichung (1) als wahr angenommen.

 

4.3 Energieerhaltung

Wie bei allen physikalischen Abläufen muss natürlich auch beim Swingby die Energieerhaltung gelten. Für die Energieerhaltung betrachtet man den Swingby vom Inertialsystem des Planeten aus:

Ein Beobachter auf dem Planeten sieht die Sonde in das Gravitationsfeld des Planeten eindringen, daraufhin eine zum Planeten vollständig symmetrische Bahn beschreiben, bevor sie das Gravitationsfeld wieder verlässt. Beim Eintritt in das Gravitationsfeld hat das Raumschiff eine kinetische Energie, welche sich aus der Eigengeschwindigkeit ergibt, und eine potentielle Energie durch die Anziehungskraft des Planeten. Während des Swingbys werden diese Energien teilweise ineinander umgewandelt, doch beim Wideraustritt aus dem Wirkungsbereichs des Planeten hat die Sonde aufgrund ihrer vollständig symmetrischen Bahn zum Planeten wieder dieselbe potentielle Energie. Aufgrund der Energieerhaltung muss die kinetische Energie ebenfalls gleich geblieben sein, was wiederum bedeutet, dass der Betrag der Geschwindigkeiten u und u* relativ zum Planeten unverändert geblieben ist:

      IuI = Iu*I   (2)           Vektoriell (s. Skizze) gilt:       u = v - V    und      u* = v* - V       

Auf den ersten Blick scheint es als sei die Sonde gar nicht schneller geworden, da sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht verändert hat. Wie ist also die Geschwindigkeitsänderung der Sonde bezüglich der Sonne zu erklären? Zwar ist der Betrag von u konstant geblieben, doch hat sich seine Richtung verändert. Diese Richtungsänderung ist gleichbedeutend mit einer Änderung der Geschwindigkeit bezüglich der Sonne.

Im obigen Diagramm ist die Beschleunigung durch den Swingby noch mal anschaulich dargestellt. Sämtliche Geschwindigkeitsvektoren lassen sich nun in ein Vektordiagramm eintragen:

Die gemeinsame Seite der Dreiecke ist die konstante Geschwindigkeit V des Planeten. Im Inertialsystem des Planeten wird die Anfangsgeschwindigkeit u des Raumschiffs in Pfeilrichtung zur Endgeschwindigkeit u* gedreht.  Beide Geschwindigkeiten haben den gleichen Betrag, da die Energieerhaltung gilt. Jedoch ist aus dem Diagramm klar ersichtlich, dass sich die Endgeschwindigkeit  v* = u* + V  relativ zur Sonne erhöht, d.h. das Raumschiff ist schneller geworden.

 

4.4 Trigonometrische Überlegungen

Die Winkel α (Anflug relativ zu V), α* (Abflug relativ zu V) und β (Kursänderung relativ zum Planeten) werden gemäß der Skizze eingeführt. Nach einer umfangreichen trigonometrischen Rechnung unter Verwendung von Sinus- und Kosinussatz ergibt sich Formel (3), weitere komplizierte Rechnung liefert dann noch die folgenden zwei Formeln.

Achtung: In den folgenden Rechnungen sind V, V*, v, v* keine(!) Vektoren mehr!

 

       (3)

Das Diagramm zeigt anschaulich: Mit steigendem β wird v* größer und erreicht sein Maximum bei β=βmax wobei α*=0. Erhöht man β weiter, sinkt v* wieder, und bei β=β0 ist wieder v=v*. In diesem Fall ist α=-α*. Für größere und negative Winkel ist v*<v. Das Raumschiff bremst also. Aufgrund der Geometrie sind Winkel über 180° nicht möglich. Das Vektordiagramm zeigt, dass bei festen „Anflugdaten“ (v, V und α) viele Ablenkungswinkel β relativ zum Planeten möglich sind. Durch das richtige „Timing“ beim Abschuss der Sonde wird festgelegt, wie nahe die Sonde dem Planeten kommt, womit auch der Grad der Ablenkung (und damit β) festgelegt wird. Dabei gibt es (s. zuvor) für jeden Energiegewinn zwei Winkel β und β0, lediglich bei maximalem Gewinn ergibt sich nur ein Winkel βmax. Dieser Winkel berechnet sich durch Auflösen obiger Gleichungen nach β und Differenzieren zu

 

                      (4)

Falls man sich nicht für den Winkel βmax entscheidet, wird in der Praxis normalerweise der kleinere Winkel  β vorgezogen, da er meist zu dem vom Planeten weiter entfernten Swingby gehört. Hinweis: Für den überhaupt größtmöglichen Geschwindigkeitszuwachs von 2V ist in jedem Fall der antiparallele Anflug (α=180°) und parallele Abflug (α*=0) zu wählen, woraus sich β=180° ergibt.

 

4.5 Dynamik

Es bleibt nun noch die Frage zu klären, wie eine Sonde abgefeuert werden muss, damit bei vorgegebenem v und α ein ganz bestimmter Winkel β beim Swingby erreicht wird. Ein Raumschiff das einer Anziehungskraft eines Planeten ausgesetzt ist folgt dem Keppler’schen Orbit. Folgende Formeln werden vorausgesetzt:

             wobei            (7)

r,

Polarkoordinaten der Sonde bezüglich des Planeten in der Ebene von v und V

M

Masse des Planeten

G

Universelle Gravitationskonstante

h

Drehimpuls der Sonde bezüglich des Planeten pro Masse

E

Gesamte Energie (pot. und kin.) der Sonde pro Masse

e

Exzentrizität der Umlaufbahn; 0 Kreisbahn, 1 Parabelbahn, >1 Hyperbelbahn

Für eine beim Swingby in Frage kommende offene (hyperbolische) Bahn fordern die Keppler’schen Gesetze E>0 und e>1. Das Raumschiff kommt dem Planeten am nächsten wenn r() minimal wird. Dies ist bei =0 der Fall, also

                 (8)

Für sehr große Entfernungen (r gegen Unendlich) geht gegen ±arccos (-1/e), nur so lässt sich Formel (7) links erfüllen.  Die Ablenkung des Raumschiffs relativ zum Planeten beträgt dann (wie man sich auch an einer Skizze klar machen kann):

                     (9)

Hat man sich also beim Swingby für einen Winkel β entschieden, so liefert (9) die zu dieser Bahn gehörige Exzentrizität e. E ist wegen der vorgegebenen Anfangsgeschwindigkeit (aus v;α;V folgt u, und damit Wkin relativ zum Planeten) und Wpot= 0 (β ist ja eigentlich der Ablenkwinkel bei unendlich, wo Wpot= 0 gilt) festgelegt, daher liefert (7) den Wert von h, und (8) den Wert für rmin. Schießt man die Sonde zu früh ab, so passiert sie weit vor dem Planeten, schießt man zu spät ab, so passiert sie weit hinter dem Planeten. Die Kunst besteht nun darin, die Sonde in dem Moment abzufeuern, wo die festgelegte Anfangsgeschwindigkeit mit Betrag und Richtung genau auf die Bahn mit dem berechneten h „passt“. Kleine h (sehr langgestreckte Hyperbeln) ergeben übrigens kleine rmin, große h (sehr flache Hyperbeln) dagegen große rmin.

 

4.6 Zusammenfassung

1.  Nach dem zuvor Hergeleiteten ist der maximal mögliche Energiegewinn bei einem Swingby zunächst durch Betrag und Richtung der Anflugsgeschwindigkeit vorbestimmt. Fliegt die Sonde den Planeten genau „von vorne“ an, so ist ein Geschwindigkeitsgewinn von maximal 2V möglich. Fliegt die Sonde den Planeten genau „von hinten“ an, so ist eine maximale Abbremsung von 2V möglich. Fliegt die Sonde „seitlich“ an, so sind Maximalwerte zwischen diesen Extrema möglich.

2. Durch richtiges „Timing“ beim Abschuss stehen für jede bei 1. Vorgegebene Anfluggeschwindigkeit noch eine Vielzahl von Ablenkwinkeln β zur Auswahl, von denen nur das jeweilige βmax den für diese Anflugdaten maximal möglichen Gewinn liefert, wobei der Abflug der Sonde parallel zur Planetengeschwindigkeit V erfolgt.  (Bei maximaler Bremsung erfolgt der Abflug antiparallel zu V). Andere Winkel als βmax bringen die Sonde eventuell besser auf Kurs zum Weiterflug, liefern aber weniger Gewinn (oder bremsen sogar). Um die unzähligen Möglichkeiten etwas anschaulich zu machen, hilft die folgende Regel:

a) Wird die Geschwindigkeit v der Sonde in Richtung zur Planetengeschwindigkeit hin gedreht, so beschleunigt die Sonde. Wird v von der Geschwindigkeit des Planeten weg  gedreht, so bremst die Sonde.

b) Je größer der  Drehwinkelanteil zur Planetengeschwindigkeit hin ist, desto mehr beschleunigt die Sonde, je größer der Drehwinkelanteil von der Geschwindigkeit des Planeten weg ist, desto mehr bremst die Sonde.

c) Je größer der gesamte(!) Drehwinkel ist, desto näher kommt die Sonde (bei vorgegebenem Bahndrehimpuls h) dem Planeten.

Beispiel: Die Sonde fliegt unter 90° zur Planetengeschwindigkeit seitlich an, wird beim Vorbeiflug hinter dem Planeten um 160° abgelenkt, und fliegt danach mit 70° zur Planetengeschwindigkeit davon. Drehwinkelanteil zur Planetengeschwindigkeit hin ist also nur 20° (die 90° beim Anflug haben sich auf 70° reduziert), was wenig Energiegewinn verspricht, der große Gesamtdrehwinkel von 160° wird die Sonde dem Planeten jedoch gefährlich nahe bringen. Mit Hilfe dieser Regel lässt sich für jede Bahn sofort abschätzen, wie sie sich auf die Sonde auswirken wird.

Das Swingby Manöver hat sich zu einem der wichtigsten Manöver in der Weltraumfahrt entwickelt. Gerade heute wo nicht mehr so viel Geld für die Raumfahrt zur Verfügung steht, ist das Swingby Manöver eine sehr gute Möglichkeit Kosten zu sparen.


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